Question

已知公差d不为0的等差数列{a_n}中，a₁=1，且a₁，a₃，a₇成等比数列．
（1）求通项a_n及前n项和S_n；
（2）若有一新数列{b_n}，且b_n=

1

anan+1

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（1）∵a₁，a₃，a₇成等比数列，
∴a32=a1a7，
即（1+2d）²=a₁+6d，
∴4d2-2d=0，d=

1

2

，或d=0（舍去）．
∴数列的通项公式an=1+

1

2

(n-1)=

1

2

n+

1

2

，
前n项和S_n，Sn=

n(1+ 1 2 n+ 1 2 )

2

=

1

4

n2+

3

4

n．
（2）由（1）得an=

n+1

2

，
∴an+1=

n+2

2

，
∴bn=

1

anan+1

=

4

(n+1)(n+2)

=4(

1

n+1

-

1

n+2

)，
∴Tn=4(

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

)=4(

1

2

-

1

n+2

)=

2n

n+2

．