Question

已知函数f（x）=cos²x-sin²x+2sinxcosx
（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）求f（x）在[-

π

4

，

π

4

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）将f（x）解析式前两项利用二倍角的余弦函数公式化简，第三项利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期，由正弦函数的递增区间为[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，k∈Z，列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）的递增区间；
（2）由x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质即可得出f（x）的值域．

解答：解：（1）f（x）=cos²x-sin²x+2sinxcosx
=cos2x+sin2x=

2

sin（2x+

π

4

），
∵ω=2，∴T=π，
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解得：kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈Z，
则f（x）的递增区间为[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈Z；
（2）∵-

π

4

≤x≤

π

4

，∴-

π

4

≤2x+

π

4

≤

3π

4

，
∴

2

2

≤sin（2x+

π

4

）≤1，
则f（x）的值域为[-1，

2

]．

点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的单调性，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．