Question

（本小题满分14分）

已知函数，

试讨论的单调性；

若存在极值，求的零点个数。

Answer 1

解:（1）函数的定义域为

                     ………………………2分

方程的判别式

 （i）当时，，在的定义域内，是增函数………3分

 （ii）当时，

     若，，是增函数

     若，，那么时，，且在处连续，所以是增函数                             ………………………4分

  （iii）当或时，，方程有两不等实根

当时，，当时，恒成立，

即，是增函数

当时，，此时的单调性如下表：

		0		0
	增		减		增

………………………6分

综上：当时，在是增函数

      当时，在，是增函数，

在是减函数…………………7分

（2）由（1）知当时，有极值

    ∵ ，∴

且       …………9分

∵在是增函数，在是减函数，

∴当时，，即在无零点      …………10分

 当时，是增函数，故在至多有一个零点…………11分

 另一方面，∵，，则

由零点定理：在至少有一个零点                ……………………13分

∴在有且只有一个零点                              

综上所述，当存在极值时，有且只有一个零点。       ………………14分