题目内容
已知函数f(x)=x，函数g(x)=λf(x)+sinx是区间[-1，1]上的减函数。
（Ⅰ）求λ的最大值；
（Ⅱ）若g(x)＜t2+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范围；
（Ⅲ）讨论关于x的方程
=x2-2ex+m的根的个数。
（Ⅰ）求λ的最大值；
（Ⅱ）若g(x)＜t2+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范围；
（Ⅲ）讨论关于x的方程
=x2-2ex+m的根的个数。 解：（Ⅰ）f（x）=x，∴g（x）=λx+sinx，
∵g（x）在[-1，1]上单调递减，
∴g′（x）=λ+cosx≤0，∴λ≤-cosx在[-1，1]上恒成立，
∴λ≤-1，故λ的最大值为-1。
（Ⅱ）由题意，得
∴只需
∴
（其中λ≤-1）恒成立，
令
，
则
，
∴
，而
恒成立，
∴t＜-1。
（Ⅲ）由
，
令
，
当
时，
，∴
在
上为增函数；
当
时，
，∴
在
上为减函数；
当x=e时，
，而
∴当
，即
时，方程无解；
当
，即
时，方程有一个根；
当
，即
时，方程有两个根。
∵g（x）在[-1，1]上单调递减，
∴g′（x）=λ+cosx≤0，∴λ≤-cosx在[-1，1]上恒成立，
∴λ≤-1，故λ的最大值为-1。
（Ⅱ）由题意，得
∴只需
∴
（其中λ≤-1）恒成立，令
，则
，∴
，而恒成立，∴t＜-1。
（Ⅲ）由
，令
，当
时，，∴在上为增函数；当
时，，∴在上为减函数；当x=e时，
，而∴当
，即时，方程无解；当
，即时，方程有一个根； 当
，即时，方程有两个根。
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