Question

已知函数f（x）=cos²x+sinxcosx，x∈R．
（1）求f(

π

6

)的值；  
（2）若sinα=

3

5

，且α∈(

π

2

，π)，求f(

α

2

+

π

24

)．

Answer 1

分析：（1）把x=

π

6

代入函数，利用特殊角的三角函数值即可求解；
（2）利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据sinα的值求出cosα，代入f（

α

2

+

π

24

）进行化简．

解答：解：（1）f（

π

6

）=cos²

π

6

+sin

π

6

cos

π

6

=（

3

2

）²+

1

2

×

3

2

3+ 3

4

…2分
（2）f（x）=cos²x+sinxcosx
=

1+cos2x

2

+

1

2

sin2x…4分
=

1

2

+

1

2

(sin2x+cos2x)  
=

1

2

+

2

2

(2x+

π

4

)…6分
∴f（

α

2

+

π

24

）=

1

2

+

2

2

sin(α+

π

12

+

π

4

)…8分
=

1

2

+

2

2

sin(α+

π

3

)
=

1

2

+

2

2

(sinα•

1

2

+cosα

3

2

)…10分
∵sin=

3

5

，且α∈(

π

2

，π)
∴cosα=-

4

5

…11分
f（

α

2

+

π

24

）=

1

2

+

2

2

(

3

5

×

1

2

-

4

5

×

3

2

)
=

10+3 2 -4 6

20

…12分

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．