Question

已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos²x-1（x∈R），
（I）求函数f（x）的周期和振幅；
（II）求函数f（x）的单调减区间；
（III）函数f（x）的图象经过怎样的变换可以得到函数y=sinx的图象．

Answer 1

分析：（I）利用两角和的正弦公式即可得到f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)，即可得到振幅和周期；
（II）利用平移变换和伸缩变换的法则即可得出．

解答：解：（I）∵f（x）=sin2x+cos2x=

2

sin(2x+

π

4

)，
∴振幅A=

2

，周期T=

2π

2

=π．
（II）由

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z），解得

π

8

+kπ≤x≤kπ+

5π

8

（k∈Z）．
∴函数f（x）的单调减区间是[

π

8

+kπ，kπ+

5π

8

](k∈Z)；
（III）函数f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)的图象向右平移

π

8

个单位可得y=

2

sin[2(x-

π

8

)+

π

4

]=

2

sin2x，
再将其横坐标变为原来的2倍变为y=

2

sinx，将其纵坐标缩小为原来的

1

2

（横坐标不变）得到y=sinx．

点评：熟练掌握两角和的正弦公式、振幅和周期公式、平移变换和伸缩变换的方法是解题的关键．．