Question

过抛物线y²=4x的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，若

1

|AF|

-

1

|BF|

=

1

2

，则直线l的倾斜角θ(0＜θ＜

π

2

)等于

π

3

．

Answer 1

分析：设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），F（1，0）则可得直线AB的方程为y=k（x-1）
联立方程

y=k(x-1) y2=4x

，而

1

AF

-

1

BF

=

1

x1+1

-

1

x2+1

=

x2-x1

x1x2+(x1+x2)+1

，结合方程的根与系数关系可求k，结合θ∈(0，

π

2

) 可求

解答：解：由题意可得直线AB的斜率K存在
设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），F（1，0）则可得直线AB的方程为y=k（x-1）
联立方程

y=k(x-1) y2=4x

整理可得k²x²-2（k²+2）x+k²=0
∴x1+x2=

4

k2

+2，x₁x₂=1
∴x2-x1= 

(x1+x2)2-4x1x2

=

16 k2 + 16 k4

=4 

1+k2

k2

∵

1

AF

-

1

BF

=

1

x1+1

-

1

x2+1

=

x2-x1

x1x2+(x1+x2)+1

=

1+k2

1+k2

=

1

2

∴k=

3

或k=-

3

∵θ∈(0，

π

2

)∴k=

3

，θ=

π

3

故答案为：

π

3

点评：本题主要考查了抛物线y²=2px（p＞0）的焦半径公式PF=x+

p

2

的应用及直线与抛物线相交关系中方程的根与系数关系的应用．