题目内容

对于函数f（x）定义域中任意的x1，x2（x1≠x2），有如下结论：当f（x）=lnx时，上述结论中正确结论的序号是
②④
②④
．
①f（x1+x2）=f（x1）f（x2），
②f（x1x2）=f（x1）+f（x2），
③
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＜0，
④f（
x1+x2
2
）＞
f(x1)+f(x2)
2
．
分析：利用对数的基本运算性质进行检验：①f（x1+x2）=ln（x1+x2）≠f（x1）f（x2）=lnx1•lnx2；
②f（x1•x2）=lnx1x2=lnx1+lnx2=f（x1）+f（x2）；
③f（x）=lnx在（0，+∞）单调递增，可得
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＞0；
④由基本不等式可得出f（
x1+x2
2
）＞
f(x1)+f(x2)
2
；
解答：解：①∵f（x）=lnx，∴f（x1+x2）=ln（x1+x2），f（x1）f（x2）=lnx1•lnx2，
∴f（x1+x2）≠f（x1）f（x2），命题错误；
②∵f（x1•x2）=lg（x1x2）=lnx1+lnx2，f（x1）+f（x2）=lnx1+lnx2，∴f（x1x2）=f（x1）+f（x2），命题正确；
③f（x）=lnx在（0，+∞）上单调递增，则对任意的0＜x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），即
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＞0，∴命题错误；
④f（
x1+x2
2
）-
f(x1)+f(x2)
2
=ln
x1+x2
2
-
lnx1+lnx2
2
=ln
x1+x2
2
-ln
x1x2
；
∵x1，x2∈（0，+∞）（且x1≠x2），∴
x1+x2
2
＞
x1x2
，又f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴ln
x1+x2
2
＞ln
x1x2
，∴f（
x1+x2
2
）＞
f(x1)+f(x2)
2
，命题正确；
故答案为：②④
点评：本题考查了对数的基本运算性质，对数函数单调性的应用与基本不等式的应用，是知识的简单综合应用问题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）定义在（-1，1）上，对于任意的x，y∈（-1，1），有f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)，且当x＜0时，f（x）＞0；
（1）验证函数f(x)=ln
1-x
1+x
是否满足这些条件；
（2）若f(
a+b
1+ab
)=1，f(
a-b
1-ab
)=2，且|a|＜1，|b|＜1，求f（a），f（b）的值．
（3）若f(-
1
2
)=1，试解关于x的方程f(x)=-
1
2
．
定义：若存在常数k，使得对定义域D内的任意两个不同的实数x1，x2，均有|f（x1）-f（x2）|≤k（x1-x2|成立，则称函数f（x）在定义域D上满足利普希茨条件．对于函数f（x）=
x
（x≥1）满足利普希茨条件，则常数k的最小值应是（　　）
（2009•连云港二模）已知函数f（x）定义在正整数集上，且对于任意的正整数x，都有f（x+2）=2f（x+1）-f（x），且f（1）=2，f（3）=6，则f（2009）=
4018
4018
．
已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，f（
1
2
）=-1，且当x，y∈（-1，1）时，恒有f（x）-f（y）=f（
x-y
1-xy
），又数列{an}满足：a1=
1
2
，an+1=
2an
1+
a
2
n
．
（I）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数；
（II）求f（an）关于n的函数解析式；
（III）令g（n）=f（an）且数列{an}满足bn=
1
g(n)
，若对于任意n∈N+，都有b1+b2+…+bn＜t2-3t恒成立，求实数t的取值范围．
已知函数f1(x)=3|x-p1|，f2(x)=2•3|x-p2|（p1，p2为实数），函数f（x）定义为：对于每个给定的x，f(x)=
f1(x) ，f1(x)≤f2(x)
f2(x) ，f1(x)＞f2(x)
．
（1）讨论函数f1（x）的奇偶性；
（2）解不等式：f2（x）≥6；
（3）若f（x）=f1（x）对任意实数x都成立，求p1，p2满足的条件．

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