Question

已知实数a≠0，函数f（x）=ax（x-2）²（x∈R）．
（1）若函数f（x）有极大值32，求实数a的值；
（2）若对?x∈[-2，1]，不等式f(x)＜

16

9

恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）=ax（x-2）²=ax³-4ax²+4ax，
∴f′(x)=3ax2-8ax+4a=3a(x-

2

3

)(x-2)．
令f′（x）=0，解得3a(x-

2

3

)(x-2)=0，
∴x=

2

3

或x=2．
∵f（x）=ax（x-2）²（x∈R）有极大值32，又f（2）=0．
∴f（x）在x=

2

3

时取得极大值，
∴f(

2

3

)=

32

27

a=32，a=27．
（2）由f′(x)=3a(x-

2

3

)(x-2)知：
当a＞0时，函数f（x）在[-2，

2

3

]上是增函数，在[

2

3

，1]上是减函数．
此时，ymax=f(

2

3

)=

32

27

a．
又对?x∈[-2，1]，不等式f(x)＜

16

9

恒成立．
∴

32

27

a＜

16

9

得a＜

3

2

，
∴0＜a＜

3

2

．
当a＜0时，函数f（x）在[-2，

2

3

]上是减函数，在[

2

3

，1]上是增函数．
又f（-2）=-32a，f（1）=a，
此时，y_max=f（-2）=-32a．
又对?x∈[-2，1]，不等式f(x)＜

16

9

恒成立．
∴-32a＜

16

9

得a＞-

1

18

，
∴-

1

18

＜a＜0．
故所求实数的取值范围是(-

1

18

，0)∪(0，

3

2

)．