题目内容
（2013•奉贤区二模）已知椭圆：
+
=1(0＜b＜3)，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，则|
|+|
|的最大值为
．
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| b2 |
| BF2 |
| AF2 |
| 36-2b2 |
| 3 |
| 36-2b2 |
| 3 |
分析：如图所示，利用椭圆的定义得到|
|+|
|=12-|
|．因此只有当|
|取得最小值时，|
|+|
|取得最大值，分AB⊥x轴和AB与x轴不垂直两种情况讨论，当AB与x轴不垂直时，利用弦长公式即可得出，通过比较得到|
|的最小值．
| BF2 |
| AF2 |
| AB |
| AB |
| BF2 |
| AF2 |
| AB |
解答：解：如图所示，
由椭圆的定义可知：|
|+|
|=2×3=|
|+|
|，
∴|
|+|
|=12-|
|．好
当AB⊥x轴时，把x=-c代入椭圆的方程得
+
=1，解得y=±
，
此时，|
|=
，则|
|+|
|=12-
=
；
当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k（x+c），A（x1，y1），
B（x2，y2）．
联立
，消去y得到（b2+9k2）x2+18k2cx+9k2c2-9b2=0，
∴x1+x2=-
，x1x2=
，
∴|
|=
=
=
＞
=
．
综上可知：只有当AB⊥x轴时，|
|取得最小值，此时|
|+|
|取得最大值
．
故答案为
．
由椭圆的定义可知：|
| AF1 |
| AF2 |
| BF1 |
| BF2 |
∴|
| BF2 |
| AF2 |
| AB |
当AB⊥x轴时，把x=-c代入椭圆的方程得
| c2 |
| 9 |
| y2 |
| b2 |
| b2 |
| 3 |
此时，|
| AB |
| 2b2 |
| 3 |
| BF2 |
| AF2 |
| 2b2 |
| 3 |
| 36-2b2 |
| 3 |
当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k（x+c），A（x1，y1），
B（x2，y2）．
联立
|
∴x1+x2=-
| 18k2c |
| b2+9k2 |
| 9k2c2-9b2 |
| b2+9k2 |
∴|
| AB |
| (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2] |
(1+k2)[(
|
=
| 6b2(1+k2) |
| b2+9k2 |
| 6b2(1+k2) |
| 9+9k2 |
| 2b2 |
| 3 |
综上可知：只有当AB⊥x轴时，|
| AB |
| BF2 |
| AF2 |
| 36-2b2 |
| 3 |
故答案为
| 36-2b2 |
| 3 |
点评：熟练掌握椭圆的定义、分类讨论的思想方法、直线与圆锥曲线相交时的弦长公式的应用是解题的关键．
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