题目内容

已知函数f（x）=3^x+k（k为常数），A（-2k，2）是函数y=f^-1（x）图象上的点．
（1）求实数k的值及函数f^-1（x）的解析式；
（2）将y=f^-1（x）的图象按向量a=（3，0）平移，得到函数y=g（x）的图象，若2 f^-1（x+ $数学公式$ -3）-g（x）≥1恒成立，试求实数m的取值范围．

解：（1）∵A（-2k，2）是函数y=f^-1（x）图象上的点，
∴B（2，-2k）是函数y=f（x）上的点．
∴-2k=3²+k．∴k=-3．
∴f（x）=3^x-3．
∴y=f^-1（x）=log₃（x+3）（x＞-3）．

（2）将y=f^-1（x）的图象按向量a=（3，0）平移，
得到函数y=g（x）=log₃x（x＞0），
要使2f^-1（x+ $\text{[math]}$ -3）-g（x）≥1恒成立，
即使2log₃（x+ $\text{[math]}$ ）-log₃x≥1恒成立，
所以有x+ $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ ≥3在x＞0时恒成立，只要（x+ $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ ）_min≥3．
又x+ $\text{[math]}$ ≥2 $\text{[math]}$ （当且仅当x= $\text{[math]}$ ，即x= $\text{[math]}$ 时等号成立），
∴（x+ $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ ）_min=4 $\text{[math]}$ ，即4 $\text{[math]}$ ≥3．∴m≥ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）先根据A（-2k，2）是函数y=f^-1（x）图象上的点，求得实数k的值，再求原函数的反函数即可．解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换：x、y换位，2、解：解出y，3、标：标出定义域，据此即可求得反函数．
（2）要使2f^-1（x+ $\text{[math]}$ -3）-g（x）≥1恒成立，分离出参数m后得：x+ $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ ≥3在x＞0时恒成立，利用只要（x+ $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ ）_min≥3．即可，从而求实数m的取值范围．
点评：本题主要考查反函数、函数恒成立问题．求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y=f（x）反求出x=Ф（y）；（2）交换x=Ф（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）．