Question

如图，正方形ABCD内接于椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，且它的四条边与坐标轴平行，正方形MNPQ的顶点M，N在椭圆上，顶点P，Q在正方形的边AB上，且A，M都在第一象限．
（I）若正方形ABCD的边长为4，且与y轴交于E，F两点，正方形MNPQ的边长为2．
①求证：直线AM与△ABE的外接圆相切；
②求椭圆的标准方程．
（II）设椭圆的离心率为e，直线AM的斜率为k，求证：2e²-k是定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）①确定

AM

=(2，-1)，

AE

=(-2，-4)，可证AM⊥AE，即可证明直线AM与△ABE的外接圆相切；
②将A（2，2），M（4，1）代入椭圆方程，即可求得椭圆标准方程；
（Ⅱ）设正方形ABCD的边长为2s，正方形MNPQ的边长为2t，将A（s，s），M（s+2t，t），代入椭圆方程

x2

a2

+

y2

b2

=1，从而可求e2=1-

b2

a2

=

5t-s

4t

，再求出k=

t-s

(s+2t)-s

=

t-s

2t

，即可证得结论．

解答：（Ⅰ）证明：①依题意：A（2，2），M（4，1），E（0，-2）
∴

AM

=(2，-1)，

AE

=(-2，-4)，
∴

AM

•

AE

=0
∴AM⊥AE（3分）
∵AE为Rt△ABE外接圆直径，
∴直线AM与△ABE的外接圆相切；（5分）
②解：由A（2，2），M（4，1）在椭圆上，可得

4 a2 + 4 b2 =1 16 a2 + 1 b2 =1

，解得

a2=20 b2=5

∴椭圆标准方程为

x2

20

+

y2

5

=1．（10分）
（Ⅱ）证明：设正方形ABCD的边长为2s，正方形MNPQ的边长为2t，则A（s，s），M（s+2t，t），
代入椭圆方程

x2

a2

+

y2

b2

=1得

s2 a2 + s2 b2 =1 (s+2t)2 a2 + t2 b2 =1

，∴

1 a2 = s-t s2(s+3t) 1 b2 = 4t s2(s+3t)

∴e2=1-

b2

a2

=

5t-s

4t

 （14分）
∵k=

t-s

(s+2t)-s

=

t-s

2t

，
∴2e²-k=2为定值． （15分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查定值的证明，解题的关键是待定系数法．