Question

12．设f（x）是定义在R上的奇函数，f′（x）为其导函数，且f（3）=0，当x＞0时，有$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＜0恒成立，则不等式xf（x）＞0的解集是（-3，0）∪（0，3）．

Answer 1

分析 利用函数的导数，判断函数的单调性，结合函数的奇偶性直接利用数形结合求解即可．

解答 解：设g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，当x＞0时，有g′（x）=$\frac{xf'（x）-f（x）}{x^2}＜0$成立，可得g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，在x＞0时是减函数，
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（3）=0，
∴g（x）是偶函数，且g（-3）=g（3）=0．
则当x＞0时，不等式xf（x）＞0等价为x²•$\frac{f（x）}{x}$＞0，即x²•g（x）＞0，即g（x）＞0，
则当x＜0时，不等式xf（x）＞0等价为x²•$\frac{f（x）}{x}$＞0，即x²•g（x）＞0，即g（x）＞0，
作出g（x）对应的草图如图：
则不等式g（x）＞0的解集是：（-3，3）．
当x=0时，不等式xf（x）＞0不成立，
故不等式xf（x）＞0的解集是：（-3，0）∪（0，3）．
故答案为：（-3，0）∪（0，3）．

点评 本题考查不等式的求解，以及函数的导数的应用，根据条件构造函数，利用导数研究函数 单调性，以及利用数形结合的思想与方法是解决本题的关键．