Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d的单调递减区间是（-1，3），且在x=1处的切线方程为：12x+y-13=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在区间[-4，4]上的最值；
（3）若过点（0，m）有且只有一条直线与f（x）相切，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可知f'（x）=0的两个根为-1和3，利用根与系数的关系建立等式，以及导数的几何意义知在x=1处的导数等于切线的斜率，切点在函数f（x）的图象上，建立方程组，解之即可求出函数f（x）的解析式；
（2）根据（1）得到f'（x）=0的两个根为-1和3，求出f（-4），f（-1），f（3），f（4），比较大小，即可求得函数f（x）在区间[-4，4]上的最值；
（3）设切点为（t，f（t）），则k=f'（t），再结合两点间斜率公式，即可得到g（t）=2t³-3t²+m-12=0只有一解，转化成求根的存在性问题，求解即可得到m的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=ax³+bx²+cx+d
∴f'（x）=3ax²+2bx+c，
∵f（x）=ax³+bx²+cx+d的单调递减区间是（-1，3），
∴f'（x）=3ax²+2bx+c＜0的解集为（-1，3），
∴f'（x）=0的两个根为-1和3，
∴

3a＞0 -1+3=- 2b 3a -1×3= c 3a

，①
∵f（x）在x=1处的切线方程为：12x+y-13=0，
∴

f′(1)=3a+2b+c=-12 f(1)=a+b+c+d=1

，②
由①②，可得a=1，b=-3，c=-9，d=12，
∴f（x）=x³-3x²-9x+12；
（2）由（1）得到f'（x）=0的两个根为-1和3，
∴f（-4）=-64，f（-1）=17，f（3）=-15，f（4）=-8，
∴函数f（x）在区间[-4，4]上的最小值为-64，最大值为17；
（3）∵f（x）=x³-3x²-9x+12，
∴f′（x）=3x²-6x-9，
设切点为（t，f（t）），
则切线的斜率k=f′（t）=3t²-6t-9，
又切线过点（0，m），则由两点间斜率公式，可得k=

f(t)-m

t

，
∴3t²-6t-9=

f(t)-m

t

，即g（t）=2t³-3t²+m-12=0只有一个解，
∵g′（t）=6t²-6t=6t（t-1），
令g′（t）=0，可得t=0或t=1，
当t∈（-∞，0）和（1，+∞）时，g′（t）＞0，即g（t）在（-∞，0）和（1，+∞）上单调递增，
当t∈（0，1）时，g′（t）＜0，即g（t）在（0，1）上单调递减，
∴当t=0时，g（t）取得极大值g（0）=m-12，当t=1时，g（t）取得极小值g（1）=m-13，
∵g（t）=2t³-3t²+m-12=0只有一个解，
∴m-12＜0或m-13＞0，解得m＜12或m＞13，
∴m的取值范围为m＜12或m＞13．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及根与系数关系等基础题知识，考查了利用导数研究函数在闭区间上的最值问题，一般求出导函数对应方程的根的函数值与区间端点的函数值比较大小即可得最值．同时考查到了方程有解问题，一般选用参变量分离法、数形结合法解决．属于中档题．