Question

已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1，若a，b∈[－1，1]，a＋b≠0有＞0，

(Ⅰ)判断函数f(x)在[－1，1]上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；

(Ⅱ)解不等式；

(Ⅲ)若f(x)≤－2am＋1，对所有x∈[－1，1]，a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)任取∈[－1，1]，又f(x)是奇函数， 于是 据已知＞0，＜0， ∴． ∴f(x)在[－1，1]上是增函数． (Ⅱ)据函数f(x)是定义在[－1，1]上的增函数，不等式f(x＋)＜f()等价于不等式组 ∴原不等式的解集为{x|－≤x＜－1，x∈R}． (Ⅲ)由(Ⅰ)的结论f(x)是[－1，1]上的增函数，且f(1)＝1． 故对所有的x∈[－1，1]，有f(x)≤1． 据已知，对所有的x∈[－1，1]，a∈[－1，1]f(x)≤－2am＋1恒成立， 应有 －2am＋1≥1成立． 即 －2am≥0． 记 g(a)＝－2ma＋，对所有的a∈[－1，1]，g(a)≥0成立，只需g(a)在[－1，1]上的最小值大于等于零． (i)当m＞0时，g(a)为[－1，1]上的减函数，此时g(1)最小． 由 解得 m≥2． (ii)当m＝0是，g(a)＝0，对a∈[－1，1]的g(a)≥0也成立． (iii)当m＜0时，g(a)为[－1，1]上的增函数，此时g(－1)最小． 由 解得 m≤－2． 故 m的取值范围为 m≤－2，或m＝0，或m≥2．