Question

【题目】如图,是平行四边形，已知，,平面平面.

（1）证明：；

（2）若，求平面与平面所成二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2).

【解析】

（1）推导出，取BC的中点F，连结EF ，可推出，从而平面，进而，由此得到平面，从而；（2）以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，以过点且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成二面角的余弦值．

（1）∵是平行四边形，且

∴，故，即

取BC的中点F，连结EF.

∵

∴

又∵平面平面

∴平面

∵平面

∴

∵平面

∴平面，

∵平面

∴

（2）∵,由（Ⅰ）得

以为坐标原点，所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系(如图)，则

∴

设平面的法向量为，则，即

得平面的一个法向量为

由（1）知平面，所以可设平面的法向量为

设平面与平面所成二面角的平面角为，则

即平面与平面所成二面角的平面角的余弦值为.