题目内容
已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，且满足f(
)=1，f（x•y）=f（x）+f（y）
（1）求f（1），f(
)的值；
（2）若f（x）+f（2-x）＜2，求x的取值范围．
| 1 |
| 3 |
（1）求f（1），f(
| 1 |
| 9 |
（2）若f（x）+f（2-x）＜2，求x的取值范围．
分析：（1）利用赋值法求f（1），f(
)的值；
（2）利用函数的单调性将f（x）+f（2-x）＜2，进行转化然后解不等式即可求x的取值范围．
| 1 |
| 9 |
（2）利用函数的单调性将f（x）+f（2-x）＜2，进行转化然后解不等式即可求x的取值范围．
解答：解：（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0．
令x=y=
，则f(
)=f(
)+f(
)=1+1=2．
（2）∵f（x•y）=f（x）+f（y），
∴f（x）+f（2-x）=f[x（2-x）]，
∴不等式f（x）+f（2-x）＜2等价为f[x（2-x）]＜2，
即f[x（2-x）]＜f（
），
∵f（x）为（0，+∞）上的减函数，
得
，
即x（2-x）＞
，
∴x2-2x+
＜0，
解得1-
＜x＜1+
．
∴x的取值范围为{x|1-
＜x＜1+
}．
∴f（1）=0．
令x=y=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 9 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
（2）∵f（x•y）=f（x）+f（y），
∴f（x）+f（2-x）=f[x（2-x）]，
∴不等式f（x）+f（2-x）＜2等价为f[x（2-x）]＜2，
即f[x（2-x）]＜f（
| 1 |
| 9 |
∵f（x）为（0，+∞）上的减函数，
得
|
即x（2-x）＞
| 1 |
| 9 |
∴x2-2x+
| 1 |
| 9 |
解得1-
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
∴x的取值范围为{x|1-
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
点评：本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决抽象函数的基本方法．
练习册系列答案
天天向上一本好卷系列答案
小学生10分钟应用题系列答案
相关题目
已知函数f（x）=x+