Question

已知函数
（1）求反函数f^-1（x）；
（2）若数列{a_n}（a_n＞0）的前n项和S_n满足：a₁=2，S_n=f^-1（S_n-1）（n≥2）
①求数列{a_n}的通项公式．
②令，求数列{b_n}前n项和T_n．

Answer 1

解：（1）∵函数
∴，
两边平方，得8x=x²+y²+4-2xy-4y+4x，
整理，得x²-（2y+4）x+y²-4y+4=0，x≥2．
∴
=y+2+2=，
x，y互换，得．
（2）①∵a₁=2，S_n=f^-1（S_n-1）（n≥2）
．
∴
∴，
∵，
∴，
∴S_n=2n²，
∵a₁=S₁=2，
a_n=S_n-S_n-1=2n²-2（n-1）²=4n-2，
当n=1时，4n-2=2=a₁，
∴a_n=4n-2．
②∵，
且a_n=4n-2．
∴b_n=4（2ⁿ+n）-2，
∴T_n=4（1+2+3+…+n）+4（2+2²+2³+…+2ⁿ）-2n
∴．
分析：（1）函数，得，两边平方，并整理，得x²-（2y+4）x+y²-4y+4=0，x≥2．所以x=y+2+2=，x，y互换，得反函数f^-1（x）．
（2）①由，知S_n=2n²，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
②由b_n=4（2ⁿ+n）-2，由求出数列{b_n}前n项和T_n．
点评：本题考查反函数的求法、数列通项公式的求法和数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．