Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

5

=1（a＞0）的左右焦点分别为F₁、F₂，A是椭圆C上的一点，

AF2

•

F1F2

=0，坐标原点O到直线AF₁的距离为

1

3

|OF₁|．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设Q是椭圆C上的一点，过点Q的直线l交x轴于点F（-1，0），交y轴于点M，若|

MQ

|=2|

QF

|，求直线l的斜率．

Answer 1

（Ⅰ）由题设知F1(-

a2-2

，0)，F2(

a2-2

，0)，
由于

AF2

•

F1F2

=0，则有

AF2

⊥

F1F2

=0，所以点A的坐标为(

a2-2

，±

2

a

)  …（2分）
故AF₁所在直线方程为y=±(

x

a a2-2

+

1

a

)   …（4分）
所以坐标原点O到直线AF₁的距离为

a2-2

a2-1

又|OF₁|=

a2-2

，所以

a2-2

a2-1

=

1

3

a2-2

，解得：a=2 …（6分）
∴所求椭圆的方程为

x2

4

+

y2

2

=1   …（7分）
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x+1），则有M（0，k）      …（8分）
设Q（x₁，y₁），由于Q、F、M三点共线，且|

MQ

|=2|

QF

|，
∴（x₁，y₁-k）=±2（x₁+1，y₁），解得

x1=-2 y1=-k

或

x1=- 2 3 y1= k 3

  …（11分）
又Q在椭圆C上，故

(-2)2

4

+

(-k)2

2

=1或

(- 2 3 )2

4

+

( k 3 )2

2

=1…（12分）
解得k=0或k=±4，所以所求直线l的斜率为0或±4       …（14分）