Question

已知函数f（x）=loga(x+

1+x2

)（x∈R，a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）判断f（x）奇偶性；
（Ⅱ）若g（x）图象与曲线y=f（x）（x≥

3

4

）关于y=x对称，求g（x）的解析式及定义域；
（Ⅲ）若g（x）＜

5m-5-m

2

对于任意的m∈N⁺恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据对数的运算性质，化简得f（x）+f（-x）=0，可得f（-x）=-f（x），可得函数f（x）是奇函数；
（II）由题意，函数y=g（x）与y=f（x）互为反函数，将f（x）的x、y互换，解出用x表示y的式子，即可得到g（x）的解析式．再结合a的范围加以讨论，即可得到函数g（x）的定义域；
（III）根据a的范围加以讨论，并结合函数g（x）的单调性，建立关于a的不等式，解之即可得到实数a的取值范围．

解答：解：（I）∵f（x）=loga(x+

1+x2

)
∴f（-x）=loga[-x+

1+(-x)2

]=loga(-x+

1+x2

)
可得f（x）+f（-x）=loga[(x+

1+x2

)(-x+

1+x2

)]=log_a（1+x²-x²）=log_a1=0
∴f（-x）=-f（x），
∵f（x）的定义域为R，
∴函数f（x）是奇函数
（II）∵f（x）=loga(x+

1+x2

)，g（x）图象与曲线y=f（x）关于y=x对称，
∴函数y=g（x）与y=f（x）互为反函数，
令x=loga(y+

1+y2

)，得y+

1+y2

=a^x，得（a^x-y）²=1+y²，
∴2ya^x=a^2x-1，得y=

a2x-1

2ax

，因此g（x）的解析式为g（x）=

1

2

（a^x-a^-x）
∵f（x）的定义域为{x|x≥

3

4

}
∴解不等式

1

2

（a^x-a^-x）≥

3

4

，得a^x≥2
当a＞1时，g（x）的定义域为[log_a2，+∞）；当0＜a＜1时，g（x）的定义域为（-∞，log_a2]
（III）由（2）得g（x）=

1

2

（a^x-a^-x）
当0＜a＜1时，log_a2＜0，此时定义域中无正整数，不满足条件；
当a＞1时，需所有正整数在定义域中，故log_a2≤1，得a≥2
∵g（x）=

1

2

（a^x-a^-x）在其定义域内是增函数
∴由不等式g（x）＜

5m-5-m

2

=g（5），得a＜5，所求a的取值范围是2≤a＜5

点评：本题给出对数型函数，讨论函数的奇偶性并求函数在指定区间上的反函数，着重考查了指、对数函数的简单性质和函数的反函数求法等知识，属于中档题．