Question

将一枚硬币连续抛掷15次，每次抛掷互不影响．记正面向上的次数为奇数的概率为P₁，正面向上的次数为偶数的概率为P₂．
（Ⅰ）若该硬币均匀，试求P₁与P₂；
（Ⅱ）若该硬币有暇疵，且每次正面向上的概率为p(0＜p＜

1

2

)，试比较P₁与P₂的大小．

Answer 1

分析：（I）正面向上的次数为奇数和正面向上的次数为偶数的是对立事件，只要做出其中一个就可以，先做出正面向上的次数是奇数的概率，包括正面向上的次数是1，3，5，7，9，11，13，15，根据独立重复试验公式写出结果，得到两个事件的概率．
（II）表示出两个事件的概率，用p表示，要比较两个事件的概率的大小，只要把两个事件的概率做差即可，整理成最简形式，根据所给的概率的范围，得到结果．

解答：解：（Ⅰ）抛硬币一次正面向上的概率为P=

1

2

，
∴正面向上的次数为奇数次的概率为P₁=P₁₅（1）+P₁₅（3）+…+P₁₅（15）
=

C

1 15

(

1

2

)1(

1

2

)14+

C

3 15

(

1

2

)3(

1

2

)12++

C

15 15

(

1

2

)5=

1

2

∴P2=1-P1=

1

2

（Ⅱ）∵P₁=C₁₅¹p¹（1-p）¹⁴+C₁₅³p³（1-p）¹²+…+C₁₅¹⁵p¹⁵，
P₂=C₁₅⁰p⁰（1-p）¹⁵+C₁₅²p²（1-p）¹³+…+C₁₅¹⁴p¹⁴（1-p）¹
则P₂-P₁=C₁₅⁰p⁰（1-p）¹⁵-C₁₅¹p¹（1-p）¹⁴+C₁₅²p²（1-p）¹³+…+C₁₅¹⁴p¹⁴（1-p）¹-C₁₅¹⁵p¹⁵
=[（1-p）-p]¹⁵
=（1-2p）¹⁵，
而0＜p＜

1

2

，
∴1-2p＞0，
∴P₂＞P₁

点评：本题考查独立重复试验的概率公式，考查比较两个式子大小，运算量比较大，是一个主要考查运算能力的问题．