Question

已知定义域为R的函数f（x）=

b-3x

a+3x+1

是奇函数
（1）求a，b的值；
（2）试讨论函数f（x）的单调性；
（3）若对?t∈[1，32]，都有f（lo

g

2 2

t-log2t4）+f（log₂t-k）＜0，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据f（x）=

b-3x

a+3x+1

是定义域为R的奇函数，则f（0）=0，f（-1）=-f（1），代入构造关于a，b的方程，解方程可得a，b的值；
（2）利用分离常数法，我们将函数解析式化为f（x）=-

1

3

+

2

3(1+3x)

的形式，进而结合指数函数的单调性和分析法，可分析出函数f（x）的单调性；
（3）根据（1）（2）的结论，我们可将上述不等式转化为k＜lo

g

2 2

t-3log2t对?t∈[1，32]恒成立，根据二次函数的图象和性质可将恒成立问题转化为最值问题进而得到k的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=

b-3x

a+3x+1

是定义域为R的奇函数
∴f（0）=0，f（-1）=-f（1）
即

b-1

a+3

=0，

b-3

a+9

=-

b- 1 3

a+1

解得b=1，a=3
（2）由（1）得f（x）=

1-3x

3+3x+1

=-

1

3

+

2

3(1+3x)

∵函数y=1+3^x在R上单调递增，
则函数y=

2

3(1+3x)

在R上单调递减，
故函数f（x）在R上单调递减
（3）由（1）（2）得函数f（x）在R上单调递减的奇函数
∴f（lo

g

2 2

t-log2t4）+f（log₂t-k）＜0可化为
f（lo

g

2 2

t-log2t4）＜-f（log₂t-k）
即f（lo

g

2 2

t-log2t4）＜f（k-log₂t）
即lo

g

2 2

t-log2t4＞k-log₂t
即k＜lo

g

2 2

t-3log2t
令y=lo

g

2 2

t-3log2t（t∈[1，32]）
则当log2t=

3

2

时，函数取最小值为-

9

4

故k＜-

9

4

点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性与函数单调性，及恒成立问题，是函数性质的综合应用，难度属于中档．