Question

9．已知函数f（x）=-x²+|x-a|．（a∈R）
（1）当a=1时，求函数最大值．
（2）当a＞0时，讨论函数单调性．

Answer 1

分析 （1）当x≥1时，f（x）=-x²+x-1，当x＜1时，f（x）=-x²-x+1．利用单调性分别求出f（x）在每一段上的最大值取较大者即为答案．
（2）分别讨论f（x）在每段上单调性即可

解答 解：（1）①当x≥1时，f（x）=-x²+x-1，对称轴为x=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）在[1，+∞）上为减函数，
f_max（x）=f（1）=-1．
②当x＜1时，f（x）=-x²-x+1，对称轴为x=-$\frac{1}{2}$，
∴f（x）在（-∞，-$\frac{1}{2}$）上为增函数，在[-$\frac{1}{2}$，1）上为减函数，
∴f_max（x）=f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{4}$．
综上所述：当a=1时，函数f（x）最大值为$\frac{5}{4}$．
（2））①当x≥a时，f（x）=-x²+x-a，对称轴为x=$\frac{1}{2}$，
（i）当a≥$\frac{1}{2}$时，f（x）在[a，+∞）上为减函数；
（ii）当0＜a＜$\frac{1}{2}$时，f（x）在[a，$\frac{1}{2}$]上为增函数，在（$\frac{1}{2}$，+∞）上为减函数．
②当x＜a时，f（x）=-x²-x+a，对称轴为x=-$\frac{1}{2}$，
∴f（x）在（-∞，-$\frac{1}{2}$]上为增函数，在（-$\frac{1}{2}$，a）上为减函数．
综上所述：a≥$\frac{1}{2}$时，f（x）在（-∞，-$\frac{1}{2}$]上为增函数，在（-$\frac{1}{2}$，+∞）上为减函数；
0＜a＜$\frac{1}{2}$时，f（x）在（-∞，-$\frac{1}{2}$]上为增函数，在（-$\frac{1}{2}$，a）上为减函数，在[a，$\frac{1}{2}$]上为增函数，在（$\frac{1}{2}$，+∞）上为减函数．

点评 本题考查了二次函数的单调性，要注意区间与对称轴的关系．