Question

已知点集L{（x，y）|y=

m

•

n

}，其中

m

=（2x-2b，1），

n

=（1，1+2b）为向量，点列P_n（a_n，b_n）在点集L中，P₁为L的轨迹与y轴的交点，已知数列{a_n}为等差数列，且公差为1．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求

OPn

•

OPn+1

的最小值；（其中O为坐标原点）
（3）设Cn=

5

n•an•| PnPn+1 |

（n≥2），求：C₂+C₃+…+C_n的值．

Answer 1

分析：（1）由y=

m

•

n

，

m

=(2x-2b， 1)， 

n

=(1， 1+2b)，得：y=2x+1，由此入手结合题意能够导出a_n=n-1（n∈N^*），b_n=2n-1（n∈N^*）．
（2）由P_n（n-1，2n-1），知P_n+1（n，2n+1），由此能够导出当n=1时，

OPn

•

OPn+1

有最小值3．
（3）由当n≥2时，P_n（n-1，2n-1），得：Cn=

5

n•an•| PnPn+1 |

=

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，由此能够求出C₂+C₃+…+C_n的值．

解答：解：（1）由y=

m

•

n

，

m

=(2x-2b， 1)， 

n

=(1， 1+2b)，
得：y=2x+1
即L：y=2x+1
∵P₁为L的轨迹与y轴的交点，
∴P₁（0，1）则a₁=0，b₁=1
∵数列{a_n}为等差数列，且公差为1，
∴a_n=n-1（n∈N^*），
代入y=2x+1，得：b_n=2n-1（n∈N^*）
（2）∵P_n（n-1，2n-1），
∴P_n+1（n，2n+1），
∴

OPn

•

OPn+1

=(n-1，2n-1)•(n，2n+1)=5n2-n-1=5(n-

1

10

)2-

21

20

∵n∈N^*，所以当n=1时，

OPn

•

OPn+1

有最小值，为3．
（3）当n≥2时，P_n（n-1，2n-1），
得：an•|

PnPn+1

|=

5

(n-1)，
Cn=

5

n•an•| PnPn+1 |

=

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，
∴C2+C3++Cn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)++(

1

n-1

-

1

n

)=1-

1

n

．

点评：本题考查数列性质的综合运用，具有一定的难度，解题时要注意挖掘隐含条件．