题目内容

已知数列R）对于。

(Ⅰ)当；

(Ⅱ)若，求数列的通项；

(Ⅲ)证明在数列中，存在一项满足≤3。

解析（I），；

当。因此 。

（II），，。

∴猜想对于任意正整数l有（即是周

期为4的数列）。

       下面用数学归纳法证明。

   （i）时，成立；

   （ii）假设当时，成立。

       ，

，，

，。

       由（i）（ii）可知对任意。

同理可证 。

（III）假设对所有的n，，所以数列是首项

为a，公差为－3的等差数列，所以，所以存在充分大的

n，使得，这与假设矛盾，∴假设不成立，∴在数列中，存在一项满足≤3。

练习册系列答案
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已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数a、b∈R满足：f（a•b）=af（b）+bf（a），f（2）=2，an=
f(2n)
n
（n∈N*），bn=
f(2n)
2n
（n∈N*），考察下列结论：
①f（0）=f（1）；
②f（x）为偶函数；
③数列{bn}为等差数列；
④数列{an}为等比数列，
其中正确的是
 
．（填序号）
已知f（x）是定义在R上的不恒等于零的函数，且对于任意的a，b∈R，满足f（ab）=af（b）+bf（a），f（2）=2，an=
f(2n)
n
，bn=
f(2n)
2n
，n∈N*，下列结论：
①f（0）=f（1）；②f（x）为偶函数；③f（x）为奇函数；④数列{an}为等比数列； ⑤数列{bn}为等差数列． 正确的序号为
①③④⑤
①③④⑤
．
对于函数 f（x），若存在x0∈R，使 f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的“滞点”．已知函数f （ x ）=
x2
2x-2
．
（I）试问f（x）有无“滞点”？若有，求之，否则说明理由；
（II）已知数列{an}的各项均为负数，且满足4Sn•f(
1
an
)=1，求数列{an}的通项公式；
（III）已知bn=an•2n，求{bn}的前项和Tn．
已知函数f(x)=
4x
4x+2
．
（Ⅰ）求f（x）+f（1-x），x∈R的值；
（Ⅱ）若数列{an} 满足an=f（0）+f（
1
n
）+f（
2
n
）+…+f（
n-1
n
）+f（1）（n∈N*），求数列{an} 的通项公式；
（Ⅲ）若数列 {bn} 满足bn=2n+1•an，Sn 是数列 {bn} 的前n项和，是否存在正实数k，使不等式knSn＞4bn对于一切的n∈N*恒成立？若存在，请求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

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