Question

已知函数f(x)=

4x

4x+2

．
（Ⅰ）求f（x）+f（1-x），x∈R的值；
（Ⅱ）若数列{a_n} 满足an=f（0）+f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n-1

n

）+f（1）（n∈N^*），求数列{a_n} 的通项公式；
（Ⅲ）若数列 {b_n} 满足b_n=2ⁿ⁺¹•a_n，S_n 是数列 {b_n} 的前n项和，是否存在正实数k，使不等式knS_n＞4b_n对于一切的n∈N^*恒成立？若存在，请求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f(x)=

4x

4x+2

，能够求出f（x）+f（1-x）=1．
（Ⅱ）由a_n=f（0）+f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n-1

n

）+f（1）（n∈N^*），结合f（x）+f（1-x）=1，利用倒序相加法，能够求出an=

n+1

2

．
（Ⅲ）由b_n=2ⁿ⁺¹•a_n，b_n=（n+1）•2ⁿ，知S_n=2•2¹+3•2²+4•2³+…+（n+1）•2ⁿ，利用错位相减法求出Sn=n•2n+1，要使不等式knS_n＞4b_n对于一切的n∈N^*恒成立，即kn²-2n-2＞0对于一切的n∈N^*恒成立．由此能够求出k的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵数f(x)=

4x

4x+2

，
∴f（x）+f（1-x）
=

4x

4x+2

+

41-x

41-x+2

=

4x

4x+2

+

4

4+2•4x

=1
（Ⅱ）∵a_n=f（0）+f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n-1

n

）+f（1）（n∈N^*），①
∴an=f(1)+f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)+…+f(

1

n

)+f(0)，②
由（Ⅰ），知f（x）+f（1-x）=1
∴①+②，得2a_n=（n+1），∴an=

n+1

2

．
（Ⅲ）∵b_n=2ⁿ⁺¹•a_n，∴b_n=（n+1）•2ⁿ，
∴S_n=2•2¹+3•2²+4•2³+…+（n+1）•2ⁿ，③
2S_n=2•2²+3•2³+4•2⁴+…+（n+1）•2ⁿ⁺¹，④
③-④，得-S_n=4+2²+2³+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹，
即Sn=n•2n+1，要使不等式knS_n＞4b_n对于一切的n∈N^*恒成立，
即kn²-2n-2＞0对于一切的n∈N^*恒成立．
∴k＞

2n+2

n2

对一切的n∈N^*恒成立，
令f（n）=

2n+2

n2

=

2(n+1)

(n+1)2-2(n+1)+1

=

2

(n+1)+ 1 n+1 -2

，
∵（n+1）+

1

n+1

在n∈N^*是单调递增的，
∴（n+1）+

1

n+1

的最小值为2+

1

2

=

5

2

，
∴f（n）_min=

2

5 2 -2

=4，
∴k＞4．

点评：本题考查数列通项公式的求法，探索满足条件的实数的取值范围．解题时要认真审题，仔细解答，注意倒序相加法、错位相减法的合理运用．