Question

已知点M（1，2），函数C1：y=x2+1，过点M作C₁的切线l，
（1）求切线l的方程；
（2）把函数C₁的图象向下平移1个单位得到曲线C₂，求l与曲线C₂围成图形的面积．

Answer 1

分析：（1）求出导数和切线的斜率，代入直线的点斜式方程，再化为一般式即可；
（2）由图象平移求出C2：y=x2，再联立方程求出交点的横坐标，由定积分求出围成图形的面积．

解答：解：（1）由题意知M（1，2）在y=x²+1上，且 y′=2x，
∴k_l=f′（1）=2，
∴切线的方程是y-2=2（x-1），即2x-y=0，
∴切线l的方程为2x-y=0，
（2）y=x²+1向下平移1个单位得到C2：y=x2，
由

y=x2 y=2x

得，x=0或x=2，
∴l与C₂围成图形面积是：
S=

∫

2 0

(2x-x2)dx

=(x2- x3 3 )|

2 0

=22-

8

3

=

4

3

．

点评：本题考查了导数的几何意义和直线方程，以及利用定积分知识求不规则图形的面积，属于中档题．