Question

已知斜率为1的直线l与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)相交于B、D两点，且BD的中点为M(1,3).

(1)求C的离心率；

(2)设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|·|BF|＝17，求证：过A、B、D三点的圆与x轴相切.

Answer 1

(1)由题意知，l的方程为y＝x＋2.

代入C的方程，并化简，得(b²－a²)x²－4a²x－4a²－a²b²＝0.

设B(x₁，y₁)、D(x₂，y₂)，

则x₁＋x₂＝，x₁·x₂＝－，①

由M(1,3)为BD的中点知＝1，

故×＝1，

即b²＝3a²，②

故c＝＝2a，

所以C的离心率e＝＝2.

(2)由①②知，C的方程为：3x²－y²＝3a²，

A(a,0)，F(2a,0)，x₁＋x₂＝2，x₁·x₂＝－<0，

故不妨设x₁≤－a，x₂≥a.

|BF|＝＝＝a－2x₁，

|FD|＝＝＝2x₂－a，

|BF|·|FD|＝(a－2x₁)(2x₂－a)＝－4x₁x₂＋2a(x₁＋x₂)－a²

＝5a²＋4a＋8.

又|BF|·|FD|＝17，故5a²＋4a＋8＝17，

解得a＝1或a＝－(舍去).

故|BD|＝|x₁－x₂|＝·＝6.

连接MA，则由A(1,0)，M(1,3)知|MA|＝3，

从而MA＝MB＝MD，且MA⊥x轴，

因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切.

所以过A、B、D三点的圆与x轴相切.