Question

（2010•深圳二模）已知函数f(x)=(x2-3x+

9

4

)ex，其中e是自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数f（x）的图象在x=0处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-1，2]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求导函数，从而可求切线的斜率，故可求函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=(x-

3

2

)2ex，f′(x)=(x+

1

2

)(x-

3

2

)ex，求出函数的单调性与极值，再与端点函数值比较，即可得到函数f（x）在区间[-1，2]上的最大值与最小值．

解答：解：（Ⅰ）因为 f(x)=(x2-3x+

9

4

)ex，f(0)=

9

4

，…（1分）f′(x)=(2x-3)ex+(x2-3x+

9

4

)ex=(x2-x-

3

4

)ex，f′(0)=-

3

4

，…（4分）
所以函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y-

9

4

=-

3

4

x，即3x+4y-9=0．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=(x-

3

2

)2ex，f′(x)=(x+

1

2

)(x-

3

2

)ex
函数f（x），f'（x）（-1≤x≤2）的取值情况列表如下：

x	[-1，- 1 2 )	- 1 2	(- 1 2 ， 3 2 )	3 2	( 3 2 ，2]
f'（x）	+	0	_	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

函数f（x）在区间[-1，2]上的最大值f(x)max=max{f(-

1

2

)，f(2)}，
最小值f(x)min=min{f(-1)，f(

3

2

)}．…（10分）
∵f(2)-f(-

1

2

)=

1

4

e2-4e-

1

2

=

e5 -16

4 e

＜

35 - 256

4 e

＜0，f(

3

2

)-f(-1)=0-

25

4

e-1＜0，…（12分）
∴f(x)max=f(-

1

2

)=4e-

1

2

，f(x)min=f(

3

2

)=0．…（13分）

点评：本题以函数为载体，考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的最值，有一定的综合性．