Question

已知实系数二次函数f（x）=ax²+bx+c对任何-1≤x≤1，都有|f（x）|≤1．
（1）若f（x）=2x²-1，g′（x）=f（x），且g（0）=0，数列{a_n}满足a_n=g（a_n-1），问数列{a_n}能否构成等差数列，若能，请求出满足条件的所有等差数列；若不能，请说明理由；
（2）求|a|+|b|+|c|的最大值．

Answer 1

分析：（1）设g（x）=dx³+ex²+hx+k，则g′（x）=3dx²+2ex+h=2x²-1，所以d=

2

3

，e=0，h=-1，由g（0）=0，知，g(x)=

2

3

x3-x．由此能求出求出满足条件的所有等差数列．
（2）f（0）=c，f（1）=a+b+c，f（-1）=a-b+c，三者都属于[-1，1]，设w=|a|+|b|+|c|，不妨设a＞0，再进行分类讨论能求出|a|+|b|+|c|的最大值．

解答：解：（1）设g（x）=dx³+ex²+hx+k，
则g′（x）=3dx²+2ex+h=2x²-1，
∴3d=2，2e=0，h=-1，
∴d=

2

3

，e=0，h=-1，
又g（0）=0，
∴k=0，
∴g(x)=

2

3

x3-x，
若数列{a_n}构成等差数列，
可设a_n=un+v，u，v为常数，
∵a_n=g（a_n-1），
∴a_n+1=g（a_n），
∴v+u(n+1)=

2

3

(un+v)3-(un+v)（*），
当u=0时，（*）简化为v=

2

3

v3-v，
由此解得：u=0，v=o，±

3

，
所以数列{a_n}能构成等差数列：
①0，0，0，…；②

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，

3

，

3

，…；③-

3

，-

3

，-

3

．（4分）
（2）f（0）=c，
f（1）=a+b+c，
f（-1）=a-b+c，
三者都属于[-1，1]，
设w=|a|+|b|+|c|，不妨设a＞0，
①b，c≥0时，w=a+b+c=f（1）＜=1；
②b，c＜0时，w=a-b-c=f（-1）-2f（0）≤3；
③b≥0＞c时，w=a+b-c=f（1）-2f（0）≤3；
④c≥0＞b时，w=a-b+c=f（-1）≤1．
当a=2，b=0，c=-1时f（x）=2x²2-1满足题设，w=3．
∴所求最大值为3．

点评：本题考查数列与函数的综合应用，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，注意计算能力的培养．