Question

给出幂函数①f（x）=x；②f（x）=x²；③f（x）=x³；④f（x）=

x

；⑤f（x）=

1

x

．其中满足条件f(

x1+x2

2

)＞

f(x1)+f(x2)

2

（x₁＞x₂＞0）的函数的个数是

 

．

Answer 1

分析：对于①②分别求出平均数的函数值与函数值的平均数，比较出大小；对于③④⑤，有图象的上凸和下凸，画出图，比较出两者的大小．

解答：解：对于①有f(

x1+x2

2

)=

x1+x2

2

，

f(x1)+f(x2)

2

=

x1+x2

2

所以f(

x1+x2

2

)= 

f(x1)+f(x2)

2

，故不满足；
对于②f(

x1+x2

2

)=

x12+2x1x2+x22

4

，

f(x1)+f(x2)

2

=

x12+x22

2

，
∴

f(x1)+f(x2)

2

-f(

x1+x2

2

)=

x12-2x1x2+x22

4

＞0，故不满足；
对于③，其图象在第一象限的图象是向下凸的，所以有

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)，不满足条件；
对于④，其图象在第一象限是上凸的，所以有

f(x1)+f(x2)

2

＜f(

x1+x2

2

)，满足条件；
对于⑤，其图象在第一象限的图象是向下凸的，所以有

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)不满足条件；
故答案为1

点评：本题考查幂函数的图象、考查结合图象的上凸还是下凸，判断出平均数的函数值与函数值的平均数的大小．