Question

已知a＞0且a≠1，若函数f （x）=log_a（ax²-x）在[3，4]是增函数，则a的取值范围是（　　）

• A、（1，+∞）
• B、（

  1

  6

  ，

  1

  4

  ）∪（1，+∞）
• C、[

  1

  8

  ，

  1

  4

  ）∪（1，+∞）
• D、[

  1

  6

  ，

  1

  4

  ）

Answer 1

分析：当a＞1时，由于函数t=ax²-x在[3，4]是增函数，且函数t大于0，故函数f （x）=log_a（ax²-x）在[3，4]是增函数． 当 1＞a＞0时，由题意可得 函数t=ax²-x在[3，4]应是减函数，且函数t大于0，故

1

a

≥4，且
16a-4＞0，此时，a无解．

解答：解：当a＞1时，由于函数t=ax²-x在[3，4]是增函数，且函数t大于0，
故函数f （x）=log_a（ax²-x）在[3，4]是增函数，满足条件．
当 1＞a＞0时，由题意可得 函数t=ax²-x在[3，4]应是减函数，且函数t大于0，
 故

1

a

≥4，且 16a-4＞0．   即 a≤

1

4

，且 a＞

1

4

，∴a∈∅．
综上，只有当a＞1时，才能满足条件，
故选 A．

点评：本题考查对数函数的单调性和特殊点，二次函数的性质，复合函数的单调性，注意利用函数t=ax²-x在[3，4]上
大于0这个条件，这是解题的易错点．