Question

已知数列{a_n}满足：a₁=2t，t²-2ta_n-1+a_n-1a_n=0，n=2，3，4，…，（其中t为常数且t≠0）．
（1）求证：数列{

1

an-t

}为等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设bn=

an

(n+1)2

，求数列{b_n}的前n项和为S_n．

Answer 1

分析：（1）由已知中，t²-2ta_n-1+a_n-1a_n=0，n=2，3，4，…，我们易变形为t²-ta_n-1=ta_n-1-a_n-1a_n，进而得到

1

an-t

-

1

an-1-t

=

1

t

，根据等差数列的定义可得数列{

1

an-t

}为等差数列；
（2）由（1）中结论，我们结合等差数列的通项公式，及已知中a₁=2t，得到数列{a_n}的通项公式；
（3）根据（2）中的数列{a_n}的通项公式，我们易得到数列b_n的通项公式，利用拆项法，我们易求出数列{b_n}的前n项和为S_n．

解答：证明：（1）∵t²-2ta_n-1+a_n-1a_n=0，
∴（t²-ta_n-1）-（ta_n-1-a_n-1a_n）=0，
即t²-ta_n-1=ta_n-1-a_n-1a_n，
∵t-a_n-1≠0
∴

1

an-t

=

an-1

t(an-1-t)

=

an-1-t+t

t(an-1-t)

=

1

t

+

1

an-1-t

即

1

an-t

-

1

an-1-t

=

1

t

∴数列{

1

an-t

}为等差数列；
解：（2）由（I）得数列{

1

an-t

}为等差数列，公差为

1

t

，
∴

1

an-t

=

1

a1-t

+

1

t

（n-1）=

n

t

∴a_n=

t

n

+t
（3）bn=

an

(n+1)2

=

(n+1)t n

(n+1)2

=

t

n(n+1)

=t•(

1

n

-

1

n+1

)
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=t[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=t（1-

1

n+1

）=

nt

n+1

点评：本题考查的知识点是等差数列关系的确定，数列的求和，其中（1）的关键是根据等差数列的定义，判断出

1

an-t

-

1

an-1-t

=

1

t

，（2）的关键是熟练掌握等差数列的通项公式，（3）的关键是根据数列{b_n}的通项公式确定使用拆项法进行数列求和．