题目内容
已知函数f（x）=-x3+6x2-9x．若过点P（-1，m）可作曲线y=f（x）的切线有三条，求实数m的取值范围．
设过点P（-1，m）的切线切曲线于点（x0，y0），
则切线的斜率k=f'（x0）=-3x02+12x0-9…（2分）
所以切线方程为y=（-3y02+12x0-9）（x+1）+m…（4分）
故y0=（-3x02+12x0-9）（x0+1）+m=-x03+6x02-9x0 …（5分）
要使过P可作曲线y=f（x）的切线有三条，
则方程（-3x02+12x0-9）（x0+1）+m=-x03+6x02-9x0 有三个不同实数根…（7分）
∴m=2x03-3x02-12x0+9
令g（x）=2x03-3x02-12x0+9
则g'（x）=6x2-6x-12=6x（x-1）（x-2）…（10分）
当x=-1，2为g（x）的极值大、极小值点，
又g（x）有极大值16；g（x）有极小值-11…（12分）
故满足条件的m的取值范围-11＜m＜16 …（14分）
则切线的斜率k=f'（x0）=-3x02+12x0-9…（2分）
所以切线方程为y=（-3y02+12x0-9）（x+1）+m…（4分）
故y0=（-3x02+12x0-9）（x0+1）+m=-x03+6x02-9x0 …（5分）
要使过P可作曲线y=f（x）的切线有三条，
则方程（-3x02+12x0-9）（x0+1）+m=-x03+6x02-9x0 有三个不同实数根…（7分）
∴m=2x03-3x02-12x0+9
令g（x）=2x03-3x02-12x0+9
则g'（x）=6x2-6x-12=6x（x-1）（x-2）…（10分）
当x=-1，2为g（x）的极值大、极小值点，
又g（x）有极大值16；g（x）有极小值-11…（12分）
故满足条件的m的取值范围-11＜m＜16 …（14分）
练习册系列答案
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已知函数f（x）=x2-bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x-y+2=0平行，若数列{
}的前n项和为Sn，则S2010的值为（ ）
| 1 |
| f(n) |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|