Question

【题目】求由直线x＝1、x＝2、y＝0及曲线围成的图形的面积S.

Answer 1

【答案】详见解析

【解析】(1)分割：

在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个点，将它等分成n个小区间：

，则第i个区间为 (i＝1，2，…，n)，其长度为Δx＝，

分别过上述n－1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形(如图)，它们的面积记作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，则小曲边梯形面积的和为S＝.

(2)近似代替：

记f(x)＝.当n很大，即Δx很小时，在区间上，可以认为f(x)＝的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它等于．从图形上看，就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边．这样，在区间上，用小矩形面积ΔSi′近似地代替ΔSi，即在局部小范围内“以直代曲”，则有ΔSi≈ΔSi′＝Δx＝＝(i＝1，2，…，n)．

(3)求和：

小曲边梯形的面积和Sn＝Si≈Si′＝＝

＝

=.从而得到S的近似值S≈Sn＝.

(4)取极限：

分别将区间[1，2]等分成8，16，20，…等份时，Sn越来越趋向于S，

从而有S＝Sn＝.

∴由直线x＝1，x＝2，y＝0及曲线y＝围成的图形的面积S为.