题目内容
已知A，B是抛物线x2=4y上两个动点，且直线AO与直线BO的倾斜角之和为| π | 4 |
分析：设直线AB的方程为y=kx+m，代入x2=4y，利用韦达定理表示出A，B坐标的关系，结合直线AO与直线BO的倾斜角之和为
，
建立k，m关系，研究是否过定点．
| π |
| 4 |
建立k，m关系，研究是否过定点．
解答：解：显然，直线AB与x轴不垂直，设直线AB的方程为y=kx+m，
代入x2=4y，得：x2-4kx-4m=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则：
设直线AO与直线BO的倾斜角分别为α，β，则α+β=
，
又tanα=
=
，tanβ=
=
，
所以，1=tan(α+β)=
=
=
=
．
即m=4k-4，
直线AB的方程为y=kx+4k-4，即y+4=k（x+4），
所以，直线AB恒过定点（-4，-4）．
代入x2=4y，得：x2-4kx-4m=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则：
|
设直线AO与直线BO的倾斜角分别为α，β，则α+β=
| π |
| 4 |
又tanα=
| y1 |
| x1 |
| x1 |
| 4 |
| y2 |
| x2 |
| x2 |
| 4 |
所以，1=tan(α+β)=
| tanα+tanβ |
| 1-tanαtanβ |
| 4(x1+x2) |
| 16-x1x2 |
| 16k |
| 16+4m |
| 4k |
| 4+m |
即m=4k-4，
直线AB的方程为y=kx+4k-4，即y+4=k（x+4），
所以，直线AB恒过定点（-4，-4）．
点评：本题要求学生能够掌握用代数方法解决几何问题的一般方法：研究直线AB过定点的问题就要通过直线AB的方程y=kx+m讨论问题，也就是要找到k与m的关系．为此，直线AB与抛物线交于不同的两个点及对于条件“直线AO与直线BO的倾斜角之和为
”进行必要的有效的代数化就成为解决本题的主要任务．
| π |
| 4 |
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