题目内容
已知数列{an}满足：a1=
，
=
+1（n∈N+）．
（1）求证：数列{
}是等差数列；
（2）设bn=
，Tn为数列{bn}的前n项和，求Tn．
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2an+1 |
| 1 |
| 2an |
（1）求证：数列{
| 1 |
| an |
（2）设bn=
| 2n |
| an |
分析：（1）由条件可得
-
=2，从而可得数列{
}是等差数列；
（2）确定数列的通项，利用错位相减法，可求数列{bn}的前n项和．
| 1 |
| an+1 |
| 1 |
| an |
| 1 |
| an |
（2）确定数列的通项，利用错位相减法，可求数列{bn}的前n项和．
解答：（1）证明：∵
=
+1
∴
-
=2
∵a1=
∴数列{
}是以2为首项，2为公差的等差数列；
（2）解：由（1）知，
=2+2(n-1)=2n
∴bn=
=2n•2n
∴Tn=2（1•21+2•22+…+n•2n）①
∴2Tn=2[1•22+2•23+…+（n-1）•2n+n•2n+1]②
①-②可得-Tn=2（21+22+…+2n）-2n•2n+1=-4+2n+2-2n•2n+1
∴Tn=4-2n+2+2n•2n+1．
| 1 |
| 2an+1 |
| 1 |
| 2an |
∴
| 1 |
| an+1 |
| 1 |
| an |
∵a1=
| 1 |
| 2 |
∴数列{
| 1 |
| an |
（2）解：由（1）知，
| 1 |
| an |
∴bn=
| 2n |
| an |
∴Tn=2（1•21+2•22+…+n•2n）①
∴2Tn=2[1•22+2•23+…+（n-1）•2n+n•2n+1]②
①-②可得-Tn=2（21+22+…+2n）-2n•2n+1=-4+2n+2-2n•2n+1
∴Tn=4-2n+2+2n•2n+1．
点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目