Question

已知函数f（x）=2cos²x-2acosx-（2a+1）
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）设f（x）的最小值为g（a），若g（a）＜m恒成立，求m的范围．

Answer 1

解：（1）令cosx=t，t∈[-1，1]，则y=2t²-2at-（2a+1），对称轴t=
当＜-1，即a＜-2时，[-1，1]是函数y的递增区间，y_min=1
当＞1，即a＞2时，[-1，1]是函数y的递减区间，y_min=-4a+1
当-1≤≤1，即-2≤a≤2时，y_min=--2a-1；
∴f（x）_min=；
（2）当a＜-2时，g（a）=1；
当-2≤a≤2时，g（a）=--2a-1=-（a+2）²+1，∴-7≤g（a）≤1
当a＞2时，g（a）=-4a+1，∴g（a）≤-7
综上，g（a）≤1
∵g（a）＜m恒成立，
∴m＞1
分析：（1）令cosx=t，t∈[-1，1]，则y=2t²-2at-（2a+1），再进行分类讨论；
（2）求出g（a）的值域，由g（a）＜m恒成立，可得g（a）_max＜m，从而可求m的范围．
点评：本题主要考查二次函数的最值，考查恒成立问题，应注意把握区间与对称轴之间的关系，做好分类讨论．