Question

在正项等比数列{a_n}中，公比q≠1，设P=

1

2

(log

1

2

a5+log

1

2

a7)，Q=log

1

2

a3+a9

2

，则P与Q的大小关系是

P＞Q

．

Answer 1

分析：由题意可得 a₅a₇=a₃a₉，化简P为log

1

2

a5a7

，再由

a3+a9

2

＞

a5a7

 以及函数y=log

1

2

x 在定义域（0，+∞）上是减函数，可得log

1

2

a3+a9

2

＜log

1

2

a5a7

，即得Q和P的大小关系．

解答：解：∵正项等比数列{a_n}中，公比q≠1，∴a₅a₇=a₃a₉．
∴P=

1

2

(log

1

2

a5+log

1

2

a7  )=

log 1 2 a5a7

2

=

1

2

log

1

2

a5a7=log

1

2

a5a7

．
∴

a3+a9

2

＞

a3a9

=

a5a7

．
又 Q=log

1

2

a3+a9

2

，函数y=log

1

2

x 在定义域（0，+∞）上是减函数，
∴log

1

2

a3+a9

2

＜log

1

2

a5a7

，即 Q＜P．
故答案为 P＞Q．

点评：本题主要考查对数的运算性质的应用，基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，属于基础题．