Question

【题目】设、是函数 的两个极值点.

（1）若，求函数的解析式；

（2）若，求的最大值；

（3）设函数，，当时，求证： .

Answer 1

【答案】（1） （2）（3）见解析

【解析】试题分析：（1）由函数极值点定义，知所给两数对应的导数值为，建立关于的方程组，解得取值，可得函数解析式；（2）函数极值点对应导数值取时的值，利用根与系数的关系与，可得，再构建关于的函数，利用函数单调性可得的最大值；（3）对所给函数化简可得，利用二次函数可证结果．

试题解析：（1）∵，∴

依题意有，∴.

解得，∴.

（2）∵,

依题意，是方程的两个根，且，

∴， 即：4，

∴

∵，∴3.

设，则

由得2，由得2.

即：函数在区间(0,2)上是增函数，在区间(2,3)上是减函数，

∴当时，有极大值为12，∴在上的最大值是12，

∴的最大值为.

（3） 证明：∵是方程的两根，∴.

∵，，∴

∴

∵，即 ∴

∴

. ∴