Question

【题目】已知倾斜角为的直线经过抛物线：的焦点，与抛物线相交于、两点，且.

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）过点的两条直线、分别交抛物线于点、和、，线段和的中点分别为、.如果直线与的倾斜角互余，求证：直线经过一定点.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（2）

【解析】试题分析：

（Ⅰ）设出直线的方程为，与抛物线方程联立消元后可得，结合抛物线的定义及条件可得，故抛物线的方程为．（Ⅱ）设直线的斜率为，则由条件可得直线的斜率为，由直线与抛物线的交点可得点，同理点，故，于是可得直线MN的方程为，可得直线过定点．

试题解析：

（Ⅰ）由题意可设直线的方程为，

由消去y整理得，

设令，，

则，

由抛物线的定义得，

∴，

∴.

∴抛物线的方程为.

（Ⅱ）设直线、的倾斜角分别为、，直线的斜率为，则.

∵直线与的倾斜角互余，

∴ ，

∴直线的斜率为.

∴直线的方程为，即，

由消去x整理得，

∴，

∴，

∴点，

以代替点M坐标中的，可得点，

∴ .

∴直线的方程为，

即，

显然当，.

∴直线经过定点.