Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，且a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2，n∈N*）
（Ⅰ）求证：数列{

an

2n

}是等差数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{的前n项之和S_n．

Answer 1

分析：（I）在等式a_n=2a_n-1+2ⁿ的两边同除以2ⁿ，利用等差数列的定义得到证明，利用对称数列的通项公式求出

an

2n

，进一步求出数列{a_n}的通项公式．
（II）由于通项是一个等差数列与一个等比数列的积构成的新数列，利用错位相减法求出数列的前n项和．

解答：解：（I）∵a_n=2a_n-1+2ⁿ
∴

an

2n

=

an-1

2n-1

+1
即

an

2n

-

an-1

2n-1

=1
∴数列{

an

2n

}是等差数列，公差为=1，首项为

a1

2

=

1

2

∴

an

2n

=

1

2

+(n-1)×1
∴a_n=（2n-1）•2^n-1
（II）S_n=1•2⁰+3•2¹+5•2²+…+（2n-1）•2^n-1
∴2S_n=1•2¹+3•2²+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ
两式相减得
-S_n=1+2•2¹+2•2²+…+2•2^n-1-（2n-1）2ⁿ=（3-2n）•2ⁿ-3
∴S_n=（2n-3）•2ⁿ+3

点评：求数列的前n项和，一般先求出数列的通项，然后选择合适的求和方法．常用的求和方法有：公式法、倒序相加法、错位相减法、裂相消法、分组法．