Question

设函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对任意的正实数x，y，均有f(xy)＝f(x)＋f(y)恒成立．已知f(2)＝1，且当x＞1时，f(x)＞0．

(1)求f()的值，试判断y＝f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并加以证明；

(2)一个各项均为正数的数列{a_n}，它的前n项和是S_n，若a₁＝3，且f(S_n)＝f(a_n)＋f(a_n＋1)－1(n≥2，n∈N^*)，求数列{a_n}的通项公式；

(3)在(2)的条件下，是否存在实数M，使2ⁿ·a₁·a₂……a_n≥M··(2a₁－1)·(2a₂－1)……(2a_n－1)

对于一切正整数n均成立？若存在，求出M的范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)令，得 　　令，得　2分 　　在上单调递增．下面证明： 　　任取，则，故 　　在已知式中令，得，即证．　4分 　　(2)当时， 　　，即 　　在上单调递增，　6分 　　 　　两式相减得：，即 　　， 　　数列从第二项起，是以1为公差的等差数列　7分 　　又在中令可得： 　　综上，．　8分 　　(3)　9分 　　， 　　 　　令， 　　则 　　是递增数列 　　 　　　12分