Question

已知数列{a_n}的前n项和f(n)是n的二次函数，f(n)满足f(2+n)=f(2-n)，且f(4)=0，f(1)=-3．

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)设数列{b_n}满足b_n=，求{b_n}中数值最大和最小的项．

Answer 1

解：依题意设f (x)=a(n-2)²+b(a≠0)

(1)∵f(4)=0  ∴4a+b=0．(1)

又f(1)=-3．  ∴a+b=-3．(2)

由(1)，(2)得a=1，b=-4，

所以f(n)=n²-4n

又an=f(n)-f(n-1)=n²-4n-(n-1)²+4(n-1)=2n-5(n≥2)

而a₁=f(1)=-3符合上式

∴a_n=2n-5．

(2)∵b_n=

当n≥2时，b_n是增函数，因此b₂=0为{b_n}的最小项，且b_n＜1，又b₁=2．所以{b_n}中最大的项为b₁=2，最小项为b₂=0．