Question

将n²个数排成n行n列的一个数阵：
a₁₁a₁₂a₁₃…a_1n
a₂₁a₂₂a₂₃…a_2n
a₃₁a₃₂a₃₃…a_3n
…
a_n1a_n2a_n3…a_nn
已知a₁₁=2，a₁₃=a₆₁+1，该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列，其中m为正实数．
（1）求第i行第j列的数a_ij；
（2）求这n²个数的和．

Answer 1

分析：（1）由题中条件：“a₁₁=2，a₁₃=a₆₁+1”得到方程：2m²=2+5m+1，解之即得m=3或m=-

1

2

（舍去）．从而即可求得a_ij．
（2）这n²个数的和为：S=（a₁₁+a₁₂+…+a_1n）+（a₂₁+a₂₂+…+a_2n）+…+（a_n1+a_n2+…+a_nn）再结合等比数列的求和公式即可解决问题．

解答：解：（1）由a₁₁=2，a₁₃=a₆₁+1得2m²=2+5m+1，
解得m=3或m=-

1

2

（舍去）．
a_ij=a_i1•3^j-1=[2+（i-1）m]3^j-1=（3i-1）3^j-1．
（2）S=（a₁₁+a₁₂+…+a_1n）+（a₂₁+a₂₂+…+a_2n）+…+（a_n1+a_n2+…+a_nn）
=

a11(1-3n)

1-3

+

a21(1-3n)

1-3

+…+

an_1

(

1-3n)
=

1

2

（3ⁿ-1）•

(2+3n-1)n

2

=

1

4

n（3n+1）（3ⁿ-1）．

点评：本题主要考查了分析问题的能力，解答的关键是利用等比数列的求和公式计算求解．