Question

已知函数f(x)=x³-x²+bx+c，
(Ⅰ)若f(x)的图象有与x轴平行的切线，求b的取值范围；
(Ⅱ)若f(x)在x=1时取得极值，且x∈[-1，2]时，f(x)＜c²恒成立，求c的取值范围。

Answer 1

解：(Ⅰ)f′(x)=3x²-x+b，
f(x)的图象上有与x轴平行的切线，则f′(x)=0有实数解，即方程3x²-x+b=0有实数解，
由Δ=1-12b≥0，得；
(Ⅱ)由题意，x=1是方程3x²-x+b=0的一个根，
设另一根为x₀，则，
∴，
∴，f′(x)=3x²-x-2，
当时，f′(x)＞0；当时，f′(x)＜0；当x∈(1，2)时，f′(x)＞0，
∴当时，f(x)有极大值，
又，f(2)=2+c，即当x∈[-1，2]时，f(x)的最大值为f(2)=2+c，
∵对x∈[-1，2]时，f(x)＜c²恒成立，
∴c²＞2+c，解得c＜-1或c＞2，
故c的取值范围为(-∞，-1)∪(2，+∞)。