Question

定义在[-1，1]上的奇函数，已知当x∈[-1，0]时的解析式f(x)=

1

4x

-

a

2x

(a∈R)
（1）写出f（x）在[0，1]上的解析式；
（2）求f（x）在[0，1]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）为定义在[-1，1]上的奇函数，其图象经过坐标原点，则根据x∈[-1，0]时的解析式f(x)=

1

4x

-

a

2x

(a∈R)，构造关于a的方程，再结合奇函数的性质，求出函数f（x）在[0，1]上的解析式．
（2）根据（1）中函数的解析式，我们用换元法可将函数的解析式，转化为一个二次函数的形式，我们分析出函数的单调性，进而求出f（x）在[0，1]上的最大值．

解答：解：（1）∵函数f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，
又∵f(x)=

1

4x

-

a

2x

(a∈R)
∴f(0)=

1

40

-

a

20

=1-a=0
解得a=1
即当x∈[-1，0]时的解析式f(x)=

1

4x

-

1

2x

当x∈[0，1]时，-x∈[-1，0]
∴f(-x)=

1

4-x

-

1

2-x

=4^x-2^x=-f（x）
∴f（x）=2^x-4^x（x∈[0，1]）
（2）由（1）得当x∈[0，1]时，f（x）=2^x-4^x
令t=2^x（t∈[1，2]）
则2^x-4^x=t-t²，
令y=t-t²（t∈[1，2]）
则易得当t=1时，y有最大值0
f（x）在[0，1]上的最大值为0

点评：本题的知识点是奇函数，函数的最值及其几何意义，其中根据定义在[-1，1]上的奇函数，其图象经过坐标原点，从而构造方程法度出参数a的值，进而求出函数的解析式，是解答本题的关键．