Question

已知函数y=f（x）是偶函数，当x＞0时，f(x)=x+

4

x

，且当x∈[-3，-2]时，n≤f（x）≤m恒成立，则m-n的最小值是

1

3

．

Answer 1

分析：根据函数y=f（x）是偶函数，当x∈[-3，-2]时，n≤f（x）≤m恒成立，可知当x∈[2，3]时，n≤f（x）≤m恒成立，求出当x∈[2，3]时，函数的值域，即可求得m-n的最小值．

解答：解：∵函数y=f（x）是偶函数，当x∈[-3，-2]时，n≤f（x）≤m恒成立
∴当x∈[2，3]时，n≤f（x）≤m恒成立
∵当x＞0时，f(x)=x+

4

x

，
∴f′(x)=1-

4

x2

令f′(x)=1-

4

x2

＞0，可得x＞2或x＜-2
∴函数在[2，3]上单调增，
∵f（2）=4，f（3）=

13

3

∴当x∈[2，3]时，函数的值域为[4，

13

3

]
∵当x∈[2，3]时，n≤f（x）≤m恒成立，
∴m-n的最小值是

13

3

-4=

1

3

故答案为：

1

3

点评：本题重点考查函数的单调性，考查函数的奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．