Question

不等式4^x+2^x+1-k＞0对一切x∈R恒成立，则k范围为

（-∞，0]

．

Answer 1

分析：令t=2^x＞0，则由题意可得 k＜t²+2t=（t+1）²-1恒成立．再由t＞0可得 （t+1）²-1＞0，得到 k≤0．

解答：解：不等式4^x+2^x+1-k＞0对一切x∈R恒成立，即 k＜4^x+2^x+1 恒成立．
令 t=2^x＞0，则 k＜t²+2t=（t+1）²-1恒成立．
由t＞0可得 （t+1）²-1＞0，
∴k≤0，即k范围为（-∞，0]，
故答案为 （-∞，0]．

点评：本题主要考查指数不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．