Question

12．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n+S_n=n
（1）设c_n=a_n-1，求证：{c_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）通过a_n+S_n=n与a_n+1+S_n+1=n+1作差、整理可知a_n+1-1=$\frac{1}{2}$（a_n-1），进而可知数列{c_n}是以-$\frac{1}{2}$为首项、$\frac{1}{2}$为公比的等比数列；
（2）通过（1）可知c_n=a_n-1=-$\frac{1}{{2}^{n}}$，进而可知a_n=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

解答 （1）证明：∵a_n+S_n=n，
∴a_n+1+S_n+1=n+1，
两式相减得：a_n+1-a_n+a_n+1=1，
整理得：a_n+1-1=$\frac{1}{2}$（a_n-1），
又∵c_n=a_n-1，
∴c_n+1=$\frac{1}{2}$c_n，
又∵a₁+a₁=1，即a₁=$\frac{1}{2}$，
∴c₁=a₁-1=$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{1}{2}$，
∴数列{c_n}是以-$\frac{1}{2}$为首项、$\frac{1}{2}$为公比的等比数列；
（2）解：由（1）可知，c_n=a_n-1=-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴a_n=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于基础题．